Question

設拋物線y=

1

4

x2的焦點為F，M為拋物線上異于頂點的一點，且M在準線上的射影為點M′，則在△MM′F的重心、外心和垂心中，有可能仍在此拋物線上的有（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：利用拋物線的定義推出MF=MM′，說明三角形是等腰三角形，推出△MM′F的重心、外心和垂心的位置，利用三角形的斜邊大于直角邊，推出結果．

解答：解：△MM′F的外心一定不在拋物線上，
因為外心到三個頂點的距離相等，外心為C，CM大于C到準線的距離，C不滿足拋物線的定義；
△MM′F的垂心為O也可能在拋物線上，
因為MF=MM′，當三角形FMM'為等腰直角三角形時，垂心與M重合，垂心在拋物線上；
△MM′F的重心為O，也不在拋物線上，
因為MF=MM′，重心在∠MFM′的平分線上，因而有FO=OM，OM大于O到準線的距離，
不滿足拋物線的定義；
故選B．

點評：本題考查拋物線的定義，直角三角形的斜邊與直角邊的關系．考查邏輯推理能力．