Question

在數列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N*，p為常數），則{a_n}稱為“等方差數列”，下列是對“等方差數列”的判斷：
①若{a_n}為等方差數列，則{a_n²}是等差數列；
②{（-1）ⁿ}是等方差數列；
③若{a_n}是等方差數列，則{a_kn}（k∈N^*，k為常數）也是等方差數列．
其中正確命題序號為

①②③

．

Answer 1

分析：根據“等方差數列”的定義，數列{a_n}中，若an2-an-12=p(n≥2，n∈N*，p為常數)，則{a_n}稱為“等方差數列”，我們逐一判斷①②③中的三個數列是否滿足等方差數列的定義，可得答案．

解答：解：①∵{a_n}是等方差數列，
∴a_n²-a_n-1²=p（p為常數）
∴{a_n²}是等差數列，故①正確；
②數列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，
∴{（-1）ⁿ}是等方差數列；故②正確；
③數列{a_n}中的項列舉出來是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
數列{a_kn}中的項列舉出來是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴（a_kn+1²-a_kn²）=kp
∴{a_kn}（k∈N^*，k為常數）是等方差數列；故③正確；
故答案為：①②③

點評：本題考查等差數列的定義及其應用，解題時要注意掌握數列的概念，屬基礎題．