Question

下列說法：
①命題“存在x ∈R，2x ≤0”的否定是“對任意的x ∈R，2x ＞0”；
②關于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
③函數f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數的充要條件是a+b=0；
其中正確的個數是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：①根據含量詞的命題的否定對①進行判斷；
②不等式恒成立轉化成函數的最值進行判斷出；
③通過舉反例對③進行判斷；

解答：解：對于①，據含邏輯連接詞的命題否定形式：“存在”變為“任意”，結論否定，故①對
對于②∵0≤sin²x≤1，令sin²x=t，
∴sin²x+

2

sin2x

=t+

2

t

，則令f（t）=t+

2

t

，t∈[0，1]，根據其圖象可知，當x＞

2

時，f（t）為遞增的，當0＜x≤

2

時，f（t）為遞減的，
∵t∈[0，1]，
∴f（t）≥f（1）=1+2=3，
∴sin²x+

2

sin2x

≥3
∵a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立時，只要a小于sin²x+

2

sin2x

的最小值即可，
a＜3故②對
對于③當a=1，b=-1時，雖然有a+b=0，但f（x）不是奇函數，故③錯，
故選B．

點評：本題考查含量詞的命題的否定、不等式恒成立問題，考查的知識點比較多．