Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面 平面， ， ， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析： 由直角及邊長關系得，又因為平面平面，運用性質定理證得平面，由判定定理證得平面　

建立空間直角坐標系，求法向量，計算可得。

解析：（Ⅰ）在底面中， ， ，

所以， ，所以，

所以，

又平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，

又平面，所以，

又即，

又，

所以平面.　

（Ⅱ）分別延長和相交于一點，連結，則直線即為所求直線，

在平面內過作（如圖），

又平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，又，

所以兩兩互相垂直.以為原點，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），另設，

則， ， ， ，

所以， ，

設是平面的法向量，

則即

令，得.

顯然是平面的一個法向量.

設二面角的大小為（為銳角）.

所以，

所以二面角的的余弦值為。