Question

【題目】已知向量 =（sin（π+ωx），2cosωx）， =（2 sin（ +ωx），cosωx），（ω＞0），函數f（x）= ，其圖象上相鄰的兩個最低點之間的距離為π．
（Ⅰ）求函數f（x）的對稱中心；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，tanB= ，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，向量 =（sin（π+ωx），2cosωx）， =（2 sin（ +ωx），cosωx），（ω＞0），

函數f（x）= =sin（π+ωx）（2 sin（ +ωx）+2cosωxcosωx=2cos2ωx﹣ sinωxcosωx

=1+cos2ωx﹣ sin2ωx=2cos（2ωx+ ）+1，

∵圖象上相鄰的兩個最低點之間的距離為π．

∴周期T=π，即 ，

∴ω=1，

可得f（x）=2cos（2x+ ）+1，

令2x+ =k ，k∈Z，

得：x= ，

函數f（x）的對稱中心為（ ，1），k∈Z；

（Ⅱ）∵tanB= ，

由余弦定理：cosB= 化簡可得：tanB= ，

∴sinB= ，

∵△ABC是銳角三角形，

∴B= ．

∴ ，

那么：f（A）=2cos（2A+ ）+1，

則2A+ ∈（ ， ），

∴cos（2A+ ）∈[﹣1， ）．

故得f（A）的取值范圍是[﹣1，2）

【解析】（Ⅰ）根據函數f（x）= ，利用向量的運算求出函數f（x）的關系式，圖象上相鄰的兩個最低點之間的距離為π．可得周期T=π，求出ω，即可求函數f（x）的對稱中心．（Ⅱ）根據tanB= 由余弦定理：cosB= 化簡可得：tanB= ，求出B，利用三角函數的有界限求出f（A）的取值范圍．