Question

【題目】已知函數f（x）=2 sin（ax﹣ ）cos（ax﹣ ）+2cos2（ax﹣ ）（a＞0），且函數的最小正周期為 ．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0， ]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：函數f（x）=2 sin（ax﹣ ）cos（ax﹣ ）+2cos2（ax﹣ ）（a＞0）， 化簡可得：f（x）= sin（2ax﹣ ）+cos（2ax﹣ ）+1
= cos2ax+sin2ax+1
=2sin（2ax+ ）+1
∵函數的最小正周期為 ．即T=
由T= ，可得a=2．
∴a的值為2．
故f（x）=2sin（4x+ ）+1；
（Ⅱ）x∈[0， ]時，4x+ ∈[0， ]．
當4x+ = 時，函數f（x）取得最小值為 =1- ．
當4x+ = 時，函數f（x）取得最大值為2×1+1=3
∴f（x）在[0， ]上的最大值為3，最小值為1- ．
【解析】（Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．（Ⅱ）x∈[0， ]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質求，可求f（x）最大值和最小值．