Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）若sin2x+af（x+ ）+1＞6cos4x對(duì)任意x∈（﹣ ， ）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， 可得：f（x）=4cosx（ sinx+ cosx）﹣1
= sin2x+2cos2x﹣1
= sin2x+cos2x
=2sin（2x+ ）
由 （k∈Z），
解得：
所以：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為
（Ⅱ）由題意：當(dāng) 時(shí)，
原不等式等價(jià)于a2cos2x＞6cos4x﹣sin2x﹣1，
即 恒成立
令 =
∵ ，當(dāng)x=0時(shí)，cosx取得最大值，即cosx=1時(shí)，那么g（x）也取得最大值為 ．
因此， ．
【解析】（Ⅰ）先利用兩角和余差的基本公式和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求出f（x+ ）的值，帶到題設(shè)中去，化簡(jiǎn)，求函數(shù)在x∈（﹣ ， ）的最值，即可恒成立，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．