Question

已知二項式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項的系數成等差數列．
（1）求n；
（2）求展開式中的一次項；
（3）求展開式中所有項的二項式系數之和．

Answer 1

分析：（1）由題意二項式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項的系數成等差數列，可得出

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，解此方程求出n的值；
（2）由項的展開式Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r整理得Tr+1=

C

r 8

(

1

2

)rx4-

3r

4

，令x的指數為1，解出r的值，即可求得一次項；
（3）二項式系數的和為C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸的和，計算出它的值即得．

解答：解：（1）前三項的系數為

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，…（1分）
由題設，得 

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，…（2分）
即n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）．           …（4分）
（2）Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=

C

r 8

(

1

2

)rx4-

3r

4

，…（6分）
令4-

3r

4

=1，得r=4．…（8分）
所以展開式中的一次項為T5=

C

4 8

(

1

2

)4x=

35

8

x．…（10分）
（3）∵C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸=2⁸=256，
∴所有項的二項式系數和為256．…（14分）

點評：本題考點二項式系數的性質，考查了二項式的項，等差數列的性質，二項式系數和的公式，解題的關鍵是熟練掌握二項式的性質及等差數列的性質，二項式的性質是一個非常重要的考點，也是每年高考的必考點，本題很典型，包括了二項式的主要性質，題后注意總結