Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式中僅有第5項二項式系數最大，則展開式中的有理項共有

 

項，分別是第

 

項．

Answer 1

分析：先根據二項式（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式中僅有第5項二項式系數最大，可求得n的值，然后利用二項展開式的通項公式即可求得展開式中的有理項．

解答：解：∵二項式（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開式中僅有第5項二項式系數最大，
∴n=8，則T_r+1=C₈^r（

x

）^8-r(

1

2

)rx-

r

4

=(

1

2

)rC₈^rx4-

3r

4

，
當4-

3r

4

∈Z時，T_r+1為有理項，
∵0≤r≤8且r∈Z，
∴r=0，4，8符合要求，故有理項有3項，分別為1、5、9項．
故答案為：3；1、5、9．

點評：本題考查二項式定理的應用，涉及二項式系數的性質，要注意系數與二項式系數的區別，考查分析與運算能力，屬于中檔題．