Question

已知數列{a_n}滿足如圖所示的程序框圖．
（I）寫出數列{a_n}的一個遞推關系式；
（II）證明：{a_n+1-2a_n}是等比數列；
（III）證明是等差數列，并求{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（I） 由程序框圖可直接得到a _n+2=4 a_n+1-4a_n
（Ⅱ）將a _n+2=4 a_n+1-4a_n移向變形得出a_n+1-2a_n =2（a _n+1-2a_n），從而可證{a_n+1-2a_n}是等比數列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求出a_n+1-2a_n=-2 ^n-1 兩邊同除以2ⁿ⁺¹變形構造出=，從而可解決．
解答：解：（I） 由程序框圖可知，數列{an}的一個遞推關系式
a₁=1，a₂=1，a _n+2=4 a_n+1-4a_n
（II）由a_n+1-2a_n =2（a _n+1-2a_n），且a₂-2a₁=-1
∴數列{a_n+1-2a_n}是以-1為首項，2為公比的等比數列
（III） 由（II）有a_n+1-2a_n=-2 ^n-1
∴^{=，又=
∴_l數列}是以為首項，以為公差的等差數列
∴，
∴a_n=
點評：本題考查程序框圖知識，等差數列、等比數列的定義及判定．考查轉化、計算、分析解決問題的能力．