Question

已知數列{a_n}滿足

1

2

a1+

1

22

a2+

1

23

a3+…+

1

2n

an=2n+1則{a_n}的通項公式

 

．

Answer 1

分析：根據所給的關系式，仿寫一個有n-1項的關系式，注意這個關系式的條件是n大于1，兩個式子相減得到只含有第n項的式子，整理出結果，注意對于首相的驗證，寫成分段形式．

解答：解：∵數列{a_n}滿足

1

2

a1+

1

22

a2+

1

23

a3+…+

1

2n

an=2n+1，①
∴當n≥2時，仿仿寫一個式子

1

2

a1+

1

22

a2+…+

1

2n-1

 an-1 =2n-1   ②
①-②得

1

2n

an=2，
∴a_n=2ⁿ⁺¹n≥2，
當n=1時，a₁=6，
∴{a_n}的通項公式 a_n=

6    (n=1) 2n+1

(n≥2)
故答案為：a_n=

6    (n=1) 2n+1

(n≥2)

點評：本題考查遞推式，仿寫是解決本題的關鍵，注意題目最后對于首項的驗證，當首項符合通項時，直接寫出通項就可以，當不符合時要寫成分段形式．