Question

【題目】給定數列{cn}，如果存在常數p、q使得cn+1＝pcn+q對任意n∈N*都成立，則稱{cn}為“M類數列”．

（1）若{an}是公差為d的等差數列，判斷{an}是否為“M類數列”，并說明理由；

（2）若{an}是“M類數列”且滿足：a1＝2，an+an+1＝32n．

①求a2、a3的值及{an}的通項公式；

②設數列{bn}滿足：對任意的正整數n，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1＝32n+1﹣4n﹣6，且集合M＝{n|≥λ，n∈N*}中有且僅有3個元素，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）① ，；②

【解析】

（1）通過an+1＝an+d與cn+1＝pcn+q比較可知p＝1、q＝d，進而可得結論；

（2）①通過a1＝2、an+an+1＝32n計算出a2、a3的值，進而利用數列{an}是“M類數列”代入計算可知數列{an}是以首項、公比均為2的等比數列，計算可得結論；②通過①可知2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1＝32n+1﹣4n﹣6，利用2bn＝（2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）﹣（22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）計算可知bn＝2n﹣1，從而M＝{n|≥λ，n∈N*}，分別計算出當n＝1、2、3時λ的值，進而可得結論．

（1）結論：公差為d的等差數列是“M類數列”．理由如下：

∵數列{an}是公差為d的等差數列，∴an+1＝an+d，此時p＝1、q＝d，

即公差為d的等差數列是“M類數列”；

（2）①∵a1＝2，an+an+1＝32n，∴a2＝32﹣a1＝4，，

又∵數列{an}是“M類數列”，∴，即，解得：p＝2，q＝0，

即an+1＝2an，又∵a1＝2，∴數列{an}是以首項、公比均為2的等比數列，

∴數列{an}的通項公式an＝2n；

②由①可知a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1＝32n+1﹣4n﹣6，

即2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1＝32n+1﹣4n﹣6，

∴2bn﹣1+22bn﹣2+23bn﹣3+…+2n﹣1b1＝32n﹣4（n﹣1）﹣6＝32n﹣4n﹣2，

∴22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1＝32n+1﹣8n﹣4，

∴2bn＝（2bn+22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）﹣（22bn﹣1+23bn﹣2+…+2nb1）

＝（32n+1﹣4n﹣6）﹣（32n+1﹣8n﹣4）

＝4n﹣2，

即bn＝2n﹣1，當時，也符合上式，所以bn＝2n﹣1.

∴集合M＝{n|≥λ，n∈N*}＝{n|≥λ，n∈N*}，

當n＝1時，λ≤ ；當n＝2時，λ≤；

當n＝3時，λ≤ ；當n≥4時，λ≤；

又∵集合M＝{n|≥λ，n∈N*}中有且僅有3個元素，∴，

故實數λ的取值范圍是．