Question

（理科）定義在R上的函數f(x)=

x+b

ax2+1

(a，b∈R，a≠0)是奇函數，當且僅當x=1時，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）若方程f(x)+

mx

1+x

=0在區間(-1，1)上有且僅有兩個不同實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義f（-x）=-f（x）得b=0，通過對x的分段討論求出函數的最大值，根據已知條件得到關于a的方程，求出a的值．
（2）將f（x）代入方程并將方程變形，將方程根的情況轉換為二次方程的實根分布問題，結合二次函數的圖象寫出限制條件，求出m的范圍．

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得b=0
∴f(x)=

x

ax2+1

又由函數f（x）的定義域為R知a≥0

當x≤0時，f(x)≤0 當x＞0時，f(x)= x ax2+1 ≤ x 2 ax2 = 1 2 a

當且僅當ax²=1即x=

1 a

時f(x)取得最大值
∴

1 a

=-即a=1
綜上a=1，b=0…（6分）
（2）由

x

x2+1

+

mx

x+1

=0化簡得

x(mx2+x+m+1)=0 ∴x=0或mx2+x+m+1=0 若0是方程mx2+x+m+1=0，則m=-1 此時方程mx2+x+m+1=0的另一根為x=1，不合題意

∴方程mx²+x+m+1=0在區間（-1，1）上有且僅有一個非零實根．
當m=0時，x=-1不合題意當m≠0時，分兩種情況討論
①△=0，x=

1

2m

∈(-1，1)得m=

-1- 2

2

②令h（x）=mx²+x+m+1則h（-1）•h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0
綜上所述實數m的取值范圍為(-1，0)∪{

-1- 2

2

}…（13分）

點評：本題考查二次方程的實根分布問題，應該結合二次函數的圖象，從對稱軸與區間的位置關系、區間端點值的符號限制．