Question

已知函數f（x）=5-2|x|，g（x）=x²-2x，構造函數F（x），定義如下：當f（x）≥g（x）時，F（x）=g（x）；當f（x）＜g（x）時，F（x）=f（x），那么F（x） 的最大值為

 

．

Answer 1

分析：根據F（x）的定義求出函數F（x）的表達式，利用數形結合即可求出函數的最值．

解答：解：由f（x）=g（x）得5-2|x|=x²-2x，
若x≥0時，5-2|x|=x²-2x等價為5-2x=x²-2x，
即x²=5，解得x=

5

．
若x＜0時，5-2|x|=x²-2x等價為5+2x=x²-2x，
即x²-4x-5=0，
解得x=-1或x=5（舍去）．
即當x≤-1時，F（x）=f（x）=5+2x，
當-1＜x＜

5

時，F（x）=g（x）=x²-2x，
當x≥

5

時，F（x）=f（x）=5-2x，
則由圖象可知當x=-1時，F（x）取得最大值值F（-1）=f（-1）=5-2=3．
故答案為：3．

點評：本題主要考查函數最值的求法，利用數形結合是解決本題的基本數學思想．