Question

已知橢圓=1,點P為其上一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的焦點，Q為射線延長線上一點，且|PQ|=|PF₂|，設R為F₂Q的中點。

(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；

(2)設點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+4)與曲線C相交于A、B兩點，若∠AOB=90^o時，

求k的值.

（請注意把答案填寫在答題卡上）

Answer 1

解：(1) F₁(－2,0),F₂(2,0) 設R(x,y）,Q(x₁,y₁).   ∵|PQ|=|PF₂|，   

∴|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=8,則(x₁+2)²+y₁²=64.------4分

又得x₁=2x+2,y₁=2y.  

∴(2x)²+(2y)²=64，   故R的軌跡方程為：x²+y²=16------------7分

(2)如右圖，當∠AOB=90°時，在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此時弦心距|OC|=

又|OC|=.  由=得-----------12分