Question

證明：函數(shù)f（x）=

x

-

1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義或?qū)��?shù)或函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答：解：①方法1：（定義法）
設(shè)x₁，x₂是定義域（0，+∞）上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

x1

-

1

x1

-

x2

+

1

x2

=(

x1

-

x2

)+

x1-x2

x1x2

=

x1-x2

x1 + x2

+

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(

1

x1 + x2

+

1

x1x2

)，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，

1

x1 + x2

+

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

x

-

1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②方法2：（導(dǎo)數(shù)法）
函數(shù)f（x）=

x

-

1

x

的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=

1

2 x

+

1

x2

，
∵x＞0，
∴f′(x)=

1

2 x

+

1

x2

＞0，
即函數(shù)f（x）=

x

-

1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
③法3：（函數(shù)性質(zhì)法）
∵函數(shù)y=

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，y=-

1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=

x

-

1

x

=

x

+（-

1

x

）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法和導(dǎo)數(shù)法是解決函數(shù)單調(diào)性的基本方法．要求熟練掌握常見(jiàn)證明函數(shù)單調(diào)性的方法．