Question

若直線x+y=k與曲線y=

1-x2

恰有一個公共點，則k的取值范圍是

-1≤k＜1或k=

2

．

Answer 1

分析：曲線y=

1-x2

表示一個半圓，如圖所示．當直線過點A（-1，0）時，直線y=-x+k與半圓只有一個交點；當直線過點B（1，0），C（0，1）時，直線y=-x+k與半圓有兩個交點，此時k=1；當直線位于此兩條直線之間時滿足題意．當直線y=-x+k與半圓相切時只有一個公共點，也滿足條件．

解答：解：曲線y=

1-x2

表示一個半圓，如圖所示．
當直線過點A（-1，0）時，直線y=-x+k與半圓只有一個交點，此時k=-1；
當直線過點B（1，0），C（0，1）時，直線y=-x+k與半圓有兩個交點，此時k=1；
當直線y=-x+k與半圓相切時只有一個公共點，k=

2

．
因此當-1≤k＜1時，或k=

2

，直線x+y=k與曲線y=

1-x2

恰有一個公共點．
故答案為-1≤k＜1，或k=

2

．

點評：本題考查了直線與圓的相交于相切的位置關系、數形結合思想方法等基礎知識與基本方法，考查了推理能力和計算能力．