Question

如圖所示，在直徑為BC的半圓中,A是弧BC上一點(diǎn)，正方形PQRS內(nèi)接于△ABC，若BC=a,∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S_l，正方形PQRS的面積為S₂.

（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2)當(dāng)a固定，θ變化時(shí)，求取得最小值時(shí)θ的值．

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：本題主要以圓為幾何背景考查三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的面積公式、函數(shù)的單調(diào)性及最值等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，在中，求出，利用求的面積，在中求出，在中求出，而，求出x的值，再求正方形PQRS的面積；第二問，先將第一問的結(jié)論代入中化簡(jiǎn)表達(dá)式，用換元法，簡(jiǎn)化表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性求的最小值.
試題解析：(1)因?yàn)锳B＝acosθ，
∴，
設(shè)正方形邊長為x，，RC＝xtanθ，
則，解之得
所以（6分）
(2)當(dāng)a固定，θ變化時(shí)，
設(shè)sin2θ＝t，則．
∵，∴0＜t≤1，，
易證f(t)在(0，1]上是減函數(shù)．
故當(dāng)t＝1時(shí)，取最小值，此時(shí)（12分）