Question

【題目】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點.求證：

(1)直線BC1∥平面EFPQ.

(2)直線AC1⊥平面PQMN.

Answer 1

【答案】（1）見解析(2) 見解析

【解析】試題分析：（1）只需利用三角形中位線定理證明直線BC1平行于平面EFPQ內一條直線FP即可；

（2）只需證明直線AC1垂直于平面PQMN內兩條相交直線MN，PN即可。

試題解析：(1)連接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1，

因為F，P分別是AD，DD1的中點，所以FP∥AD1.

從而BC1∥FP.

而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，

故直線BC1∥平面EFPQ.

(2)連接AC，BD，則AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.

而AC1平面ACC1，所以BD⊥AC1.

因為M，N分別是A1B1，A1D1的中點，

所以MN∥BD，從而MN⊥AC1.

同理可證PN⊥AC1.

又PN∩MN=N，所以直線AC1⊥平面PQMN.

點晴：本題第一問考查的是直線與平面平行的判定。通過證明平面外的直線與平面內的直線線平行，從而證明線面平行。尋找線線平行的一般辦法有：一、利用三角形中位線定理，二、利用平形四邊形的性質;三、利用兩直線都垂直于同一平面，兩直線平行;四、利用線面平行的性質等。