Question

已知直線l：x=m（m＜-2）與x軸交于A點，動圓M與直線l相切，并且和圓O：x²+y²=4相外切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程．
（2）若過原點且傾斜角為

π

3

的直線與曲線C交于M、N兩點，問是否存在以MN為直徑的圓過點A？若存在，求出實數m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出動圓圓心坐標，由動圓圓心到切線的距離等于動圓與定圓的圓心距減定圓的半徑列式求解動圓圓心的軌跡方程；
（2）求出過原點且傾斜角為

π

3

的直線方程，和曲線C聯立后利用根與系數關系得到M，N的橫縱坐標的和與積，由

AM

•

AN

=0列式求解m的值．

解答：解：（1）設動圓的圓心M坐標（x₀，y₀），
∵動圓M與直線l相切，并且和圓O：x²+y²=4相外切，
∴|x₀-m|=

x02+y02

-2，即x0+2-m=

x02+y02

．
整理得：y02=(4-2m)x0+(2-m)2．
∴動圓圓心M的軌跡C的方程為y²=（4-2m）x+（2-m）²．
（2）存在以MN為直徑的圓過點A．
事實上，過原點傾斜角為

π

3

的直線方程為y=

3

x．
聯立

y= 3 x y2=(4-2m)x+(2-m)2

，得3x²-（4-2m）x-（2-m）²=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

4-2m

3

，x1x2=

m2-2

3

，
y1y2=3x1x2=m2-2．
若存在以MN為直徑的圓過點A，則

AM

•

AN

=0，
即（x₁+m，y₁）•（x₂+m，y₂）
=x1x2+m(x1+x2)+m2+y1y2
=

m2-2

3

+m•

4-2m

3

+m2+m2-2
=

5m2+4m-8

3

=0，解得：m=

-2- 11

5

或m=

-2+ 11

5

（舍）．
∴存在以MN為直徑的圓過點A，此時m=

-2- 11

5

．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．