Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）滿足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x+b），是否存在實(shí)數(shù)b使g（x）為偶函數(shù)；若存在，求出b的值；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)h（x）=f（x）-x²+m，若函數(shù)y=log_mh（x）在區(qū)間[-2，4]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（4）設(shè)函數(shù)h（x）=log₂[n-f（x）]，討論此函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系，即可求a、c的值；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷即可；
（3）求出h（x）=f（x）-x²+m的表達(dá)式，利用函數(shù)y=log_mh（x）在區(qū)間[-2，4]上單調(diào)遞增，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（4）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（1）=5=a+2+c，
∴c=3-a  ①
又∵6＜f（2）＜11，
∴6＜4a+4+c＜11，②
將①式代入②式，得-

1

3

＜a＜

4

3

，
又∵a、c∈N^*，
∴a=1，c=2．     
（2）由（1）得f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴g（x）=f（x+b）=（x+b+1）²+1，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)b使g（x）為偶函數(shù)，
則有g(shù)（-x）=g（x），
即（-x+b+1）²+1=（x+b+1）²+1，可得b=-1．
故存在實(shí)數(shù)b=-1使g（x）為偶函數(shù)．
（3）依題意有h（x）=2x+2+m，
∴h（x）在區(qū)間[-2，4]上單調(diào)遞增，
若函數(shù)y=log_mh（x）在區(qū)間[-2，4]上單調(diào)遞增，則m＞1且h（x）＞0在區(qū)間[-2，4]上恒成立，
∴

m＞1 h(x)min＞0

，
即

m＞1 -4+2+m＞0

，
解得m＞2；
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2，+∞）．
（4）方法1∵函數(shù)h（x）=log₂[n-f（x）]，
∴n-f（x）＞0有解，即n＞f（x）_min
又∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴f（x）的最小值為1，
∴n＞1；
又log₂[n-f（x）]=0?n-f（x）=1，
即x²+2x+3-n=0，（*）
∵△=4-4（3-n）=4n-8，
∴當(dāng)n＞2時(shí)，方程（*）有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)n=2時(shí)，方程（*）有1個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)n＜2時(shí)，方程（*）沒有實(shí)數(shù)根．
綜上，當(dāng)n＞2時(shí)，函數(shù)h（x）在定義域范圍內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)n=2時(shí)，函數(shù)h（x）在定義域范圍內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)1＜n＜2時(shí)，函數(shù)h（x）在定義域范圍內(nèi)沒有零點(diǎn)．
方法2∵函數(shù)h（x）=log₂[n-f（x）]，
∴n-f（x）＞0有解，n＞f（x）_min
又∵f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
∴f（x）的最小值為1，
∴n＞1；
又log₂[n-f（x）]=0?n-f（x）=1，
即n=f（x）+1=x²+2x+3=（x+1）²+2
∴當(dāng)n＞2時(shí)，直線y=n與拋物線y=（x+1）²有2個(gè)不同的交點(diǎn)；
當(dāng)n=2時(shí)，直線y=n與拋物線y=（x+1）²有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)n＜2時(shí)，直線y=n與拋物線y=（x+1）²沒有交點(diǎn)．
綜上，當(dāng)n＞2時(shí)，函數(shù)h（x）在定義域范圍內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)n=2時(shí)，函數(shù)h（x）在定義域范圍內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)1＜n＜2時(shí)，函數(shù)h（x）在定義域范圍內(nèi)沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷和應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．