Question

【題目】已知函數.

（1）討論在上的單調性；

（2）是否存在實數，使得在上的最大值為，若存在，求滿足條件的的個數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1個

【解析】試題分析：（1）求導數可得，對a進行分類討論得：①當時， 在上單調遞增，②當或時， 在上單調遞減，③當且時， 在上單調遞增，在上單調遞減。（2）結合（1）可得當時， ，故有，即，可判斷方程只有1個實數解，所以存在滿足條件的實數a，且只有1個。

試題解析：

（1）∵，

∴，

①當時， 在上單調遞增。

②當，即或時， ，

∴在上單調遞減。

③當且時，

由 得.

令得；令得.

∴在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上，當時， 在上遞增；

當或時， 在上遞減；

當且時， 在上遞增，在上遞減.

（2）易知，由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，

∴ 當時， 有極大值，也為最大值，且

由題意得 ，

即，

設，易知為增函數，且，

∴的唯一零點在上，

∴ 方程有唯一解，

∴ 存在實數滿足條件，且實數的個數為1個.