Question

【題目】已知拋物線，為其焦點，橢圓，，為其左右焦點，離心率，過作軸的平行線交橢圓于兩點，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過拋物線上一點作切線交橢圓于兩點，設與軸的交點為，的中點為，的中垂線交軸為，，的面積分別記為，，若，且點在第一象限．求點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) . (2)

【解析】

（1）由題設可知，又，把均用表示，并把點代入標圓方程，求得；

（2）根據導數的幾可意義求得直線的方程，根據韋達定理及中點坐標公式求得點的坐標，求得中垂線方程，即可求得點坐標，根據三角形面積公式，即可求得點坐標.

（1）不妨設在第一象限，

由題可知，，

又，，

可得，橢圓的方程為.

（2）設則切線的方程為

代入橢圓方程得：，

設，

則，，

的方程為，

即，

令得，

在直線方程中令得，

，，

，，

，.

化簡得，

（舍去）的坐標為.

，

，

因為，故此解符合題意．