Question

（14分）設函數,其中

 (1)當時，討論函數f(x)的單調性；

 (2)若函數僅在處有極值,求的取值范圍；

 (3)若對于任意的,不等式在[-1,1]上恒成立,求b的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）f(x)在(0,  ),(2，+∞）內是增函數，在（-∞,0),( ,2)內是減函數.

（2）

（3）（-∞，-4］

【解析】解  (1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).    f′（x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).?      

令f′(x)=0,解得 x1=0, x2=,x3=2當x變化時，f′(x),f(x)的變化情況如下表：

x	(-∞,0)	0				2	(2,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)	減函數	極小值	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

所以f(x)在(0,  ),(2，+∞）內是增函數，在（-∞,0),( ,2)內是減函數.?            

（2）f′(x)=x(4x2+3ax+4),顯然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.

 為使f(x)僅在x=0處有極值,必須有4x2+3ax+4≥0恒成立，即有Δ=9a2-64≤0.  解此不等式，得 這時，f(0)=b是唯一極值. 因此滿足條件的a的取值范圍是 .     

3)由條件a∈[-2,2]可知Δ=9a2-64＜0,從而4x2+3ax+4＞0恒成立.

當x＜0時，f′(x)＜0；當x＞0時，f′(x)＞0.因此函數f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者.                 

為使對任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，當且僅當所以b≤-4,                            

因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4］.