Question

 19（本小題滿分14分）已知，函數，（其中為自然對數的底數）．（1）求函數在區間上的最小值；（2）是否存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)   不存在

解析:

（1）∵，∴．令，得．

①若，則，在區間上單調遞增，此時函數無最小值．

②若，當時，，函數在區間上單調遞減，

當時，，函數在區間上單調遞增，

所以當時，函數取得最小值．

③若，則，函數在區間上單調遞減，

所以當時，函數取得最小值．

綜上可知，當時，函數在區間上無最小值；

當時，函數在區間上的最小值為；

當時，函數在區間上的最小值為．

（2）∵，，∴

．由（1）可知，當時，．

此時在區間上的最小值為，即．

當，，，∴．

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解． 而，即方程無實數解． 故不存在，使曲線在點處的切線與軸垂直．