Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系．已知直線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為（）．

（Ⅰ）設為參數，若，求直線的參數方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線交于，，設，且，求實數的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（為參數）；（Ⅱ）．　

【解析】試題（Ⅰ）由，將直線的極坐標方程化為直角坐標方程，再由，得，可得直線的參數方程為（為參數）．（Ⅱ）先根據直線參數方程的幾何意義化簡條件得，即，再由，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程（），并將直線參數方程代入曲線的直角坐標方程，最后利用韋達定理代入條件可解得實數的值．

試題解析：（Ⅰ）將，，代入直線的極坐標方程得直角坐標方程，

再將，代入直線的直角坐標方程，得，

所以直線的參數方程為（為參數）．

（Ⅱ）由（），得（）,

由，代入，得（）．

將直線的參數方程與的直角坐標方程聯立，得，（*）．

設點，分別對應參數，恰為上述方程的根，則，，，

由題設得，即，

由（*）得，，

則有，得或，

因為，所以．