Question

【題目】以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，已知過點且斜率為1的直線與曲線：（是參數）交于兩點，與直線：交于點.

（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；

（2）若的中點為，比較與的大小關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），詳見解析

【解析】

（1）將方程消參得到，即為曲線C的普通方程，利用極坐標與直角坐標之間的轉化關系，將化為，即為直線的直角坐標方程；

（2）聯立消去y得，設點，，則由中點公式，得點M的坐標是，由韋達定理得到點M的坐標是(4，3)，聯立，求得點N的坐標是，應用兩點間距離公式和弦長公式求得與的值，比較可得結果.

（1）由得：

，

故曲線C的普通方程是；

由及公式得，

故直線的直角坐標方程是.

（2）因為直線過點且斜率為1，

所以根據點斜式得，直線的方程為，即.

曲線C：是以點為圓心，為半徑的圓，

聯立消去y得.

設點，，則由中點公式，得點M的坐標是.

由韋達定理，得，，所以，

所以點M的坐標是(4，3).

聯立解得，故點N的坐標是.

所以由兩點間的距離公式，得.

所以由弦長公式，得弦長.

因為，

所以.故.