Question

已知銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且．
（1）求角C的大小；
（2）若a=4，設D是BC的中點，，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩角和的正弦公式和二倍角三角函數公式，將已知等式化簡整理得：sinC+cosC=2sinCcosC+，再因此分解得（2cosC-1）（-sinC）=0，最后結合△ABC是銳角三角形，可得出C=；
（2）D是BC的中點，得=（+），代入并化簡整理，得2=3•=||•||，
因此，||=||即b=a=3，再由正弦定理的面積公式，即可算出△ABC的面積．
解答：解：（1）∵
∴2（sinCcos+cosCsin）=2sinCcosC+
即sinC+cosC=2sinCcosC+，移項整理得：（2cosC-1）（-sinC）=0
∴cosC=或sinC=，結合C為銳角，可得C=
（2）∵D是BC的中點，得=（+）
∴即（+）•=2•
化簡整理，得=3•=3（+）•
∴2=3•=3||•||cosC=||•||
因此，||=||即b=a=3
∴△ABC的面積S=absinC=×4×3×sinC=3．
點評：本題給出銳角三角形，在已知三角等式的情況下求角C的大小，求三角形的面積，著重考查了兩角和的正弦公式、正弦定理和向量數量積的運算公式等知識，屬于中檔題．