Question

已知銳角△ABC中，三個內角為A，B，C，兩向量

p

=（2-2sinA，cosA+sinA），

q

=（sinA-cosA，1+sinA），若

p

與

q

是共線向量．
（1）求∠A的大小；  
（2）求函數y=2sin2B+cos(

C-3B

2

)取最大值時，∠B的大小．

Answer 1

分析：（1）根據兩向量的坐標及兩向量為共線向量，利用平面向量數量積運算法則列出關系式，整理后求出cosA的值，即可確定出A的度數；
（2）由A的度數得到B+C的度數，表示出C，代入函數y中，利用二倍角的余弦函數公式，以及兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后利用正弦函數的值域求出y取得最大值時B的度數即可．

解答：解：（1）∵向量

p

=（2-2sinA，cosA+sinA），

q

=（sinA-cosA，1+sinA），若

p

與

q

是共線向量，
∴

2-2sinA

sinA-cosA

=

cosA+sinA

1+sinA

，即2（1-sinA）（1+sinA）=（sinA-cosA）（sinA+cosA），
整理得：2（1-sin²A）=sin²A-cos²A，即cos²A=

1

4

，
∵A為銳角，
∴cosA=

1

2

，即A=60°；
（2）函數y=2×

1-cos2B

2

+cos（

120°-4B

2

）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin（2B+30°）+1，
當2B+30°=90°，即B=30°時，函數y取得最大值為2．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，平面向量與共線向量，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．