Question

若函數h（x）滿足
①h（0）=1，h（1）=0；
②對任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上單調遞減．則稱h（x）為補函數。
已知函數h（x）=（λ＞-1，p＞0）。
（1）判函數h（x）是否為補函數，并證明你的結論；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函數h（x）的中介元，記p=（n∈N₊）時h（x）的中介元為x_n，且S_n=，若對任意的n∈N+，都有S_n＜，求λ的取值范圍；
（3）當λ=0，x∈（0，1）時，函數y=h（x）的圖象總在直線y=1-x的上方，求P的取值范圍。

Answer 1

解：（1）函數h（x）是補函數，證明如下：
①h（0）==1，h（1）==0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（）==a
③令g（x）=（h（x））p，
有g′（x）=
=，
因為λ＞1，p＞0，
所以當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是減函數，
故h（x）在（0，1）上是減函數由上證，函數h（x）是補函數。
（2）當p=（n∈N*），由h（x）=x得，
（i）當λ=0時，中介元x_n=，
（ii）當λ＞-1且λ≠0時，由（*）得=∈（0，1）或=∈（0，1），
得中介元x_n=，
綜合（i）（ii）：對任意的λ＞-1，中介元為x_n=，
于是當λ＞-1時，有S_n===，
當n無限增大時，無限接近于0，S_n無限接近于，
故對任意的非零自然數n，S_n＜等價于，
即λ∈[3，+∞）。
（3）當λ=0時，h（x）=，中介元為．
（i）0＜p≤1時，，中介元為≤，
所以點（x_p，h（x_p））不在直線y=1-x的上方，不符合條件；
（ii）當p＞1時，依題意只需＞1-x在x∈（0，1）時恒成立，
也即x^p+（1-x）^p＜1在x∈（0，1）時恒成立
設φ（x）=x^p+（1-x）^p，x∈（0，1），
則φ′（x）=p（x^p-1-（1-x）^p-1）
令φ′（x）=0，得x=，且當x∈（0，）時，φ′（x）＜0，
當x∈（，1）時，φ′（x）＞0，
又φ（0）=φ（1）=1，
所以x∈（0，1）時，φ（x）＜1恒成立
綜上，p的取值范圍是（1，+∞）。