Question

若函數h（x）滿足
①h（0）=1，h（1）=0；
②對任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上單調遞減．則稱h（x）為補函數．已知函數h（x）=（λ＞-1，p＞0）
（1）判函數h（x）是否為補函數，并證明你的結論；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函數h（x）的中介元，記p=（n∈N₊）時h（x）的中介元為x_n，且S_n=，若對任意的n∈N₊，都有S_n＜，求λ的取值范圍；
（3）當λ=0，x∈（0，1）時，函數y=h（x）的圖象總在直線y=1-x的上方，求P的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過對函數h（x）=（λ＞-1，p＞0）進行研究，探究其是否滿足補函數的三個條件來確定函數是否是補函數；
（2）由題意，先根據中介元的定義得出中介元x_n通式，代入S_n=，計算出和，然后結合極限的思想，利用S_n＜得到參數的不等式，解出它的取值范圍；
（3）λ=0，x∈（0，1）時，對參數p分灰討論由函數y=h（x）的圖象總在直線y=1-x的上方這一位置關系進行轉化，解出p的取值范圍．
解答：解：（1）函數h（x）是補函數，證明如下：
①h（0）==1，h（1）==0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（）==a
③令g（x）=（h（x））^p，有g′（x）==，因為λ＞1，p＞0，
所以當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是減函數，故h（x）在（0，1）上是減函數
由上證，函數h（x）是補函數
（2）當p=（n∈N^*），由h（x）=x得，
（i）當λ=0時，中介元x_n=，
（ii）當λ＞-1且λ≠0時，由（*）得=∈（0，1）或=∉（0，1），得中介元x_n=，
綜合（i）（ii）：對任意的λ＞-1，中介元為x_n=，
于是當λ＞-1時，有S_n===，
當n無限增大時，無限接近于0，S_n無限接近于，
故對任意的非零自然數n，S_n＜等價于，即λ∈[3，+∞）
（3）當λ=0時，h（x）=，中介元為．
（i）0＜p≤1時，，中介元為≤，所以點（x_p，h（x_p））不在直線y=1-x的上方，不符合條件；
（ii）當p＞1時，依題意只需＞1-x在x∈（0，1）時恒成立，也即x^p+（1-x）^p＜1在x∈（0，1）時恒成立
設φ（x）=x^p+（1-x）^p，x∈（0，1），則φ′（x）=p（x^p-1-（1-x）^p-1）
令φ′（x）=0，得x=，且當x∈（0，）時，φ′（x）＜0，當x∈（，1）時，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）時，φ（x）＜1恒成立．
綜上，p的取值范圍是（1，+∞）
點評：本題考查綜合法與分析法，探究性強，難度較大，綜合考查了轉化的思想，導數在最值中的運用，極限的思想，綜合性強，運算量大，對邏輯推理要求較高，極易出錯或者找不到轉化的方向，解題時要嚴謹認真，避免馬虎出錯