Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且點在橢圓C上.橢圓C的左頂點為A.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓的右焦點且斜率為的直線與橢圓交于P，Q兩點，求三角形APQ的面積；

（3）過點A作直線與橢圓C交于另一點B.若直線交軸于點C，且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據橢圓的離心率和過點坐標，可得關于的方程，解方程即可得到橢圓的方程；

（2）設直線PQ的方程為與橢圓聯(lián)立得：，利用弦長公式和點到直線的距離公式，可求得三角形的面積；

（3）由題意知直線的斜率存在，設的方程為：，利用可得關于的方程，解方程即可得答案；

（1）由題意知：

解得：，所以，所求橢圓C的方程為.

（2）設直線PQ的方程為與橢圓聯(lián)立得：

其判別式

所以，則

又點A到直線PQ的距離為

所以三角形APQ的面積為

（3）由題意知直線的斜率存在，設為，過點，則的方程為：，

聯(lián)立方程組，消去整理得：，

恒成立，令，

由，得，

將代入中，得到，得，

解得：，.所以直線的斜率為.