Question

【題目】如圖，已知所在的平面， 是的直徑， 是上一點(diǎn)，且是中點(diǎn)， 為中點(diǎn)．

（1）求證： 面；

（2）求證： 面；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 見解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只需證與面內(nèi)一直線平行即可，根據(jù)中位線定理可知，又面面，滿足定理所需條件； （2）由面面，則，而是的直徑，則，又，則面，由于所以面；（3）根據(jù)面，則即為三棱錐的高，將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化成三棱錐的體積，根據(jù)錐體的體積公式進(jìn)行求解即可.

試題解析：（1）證明：在三角形中， 是中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，

∴， 平面平面，∴面；

（2）證明：∵面， 平面，∴，

又∵是的直徑，∴，

又，∴面，

∵，∴面；

（3）∵，∴，

在中，∵，∴，

∴．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.