Question

【題目】已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）設直線 與圓相交于兩點，求實數的取值范圍；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數，使得弦的垂直平分線過點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在實數

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設出圓心坐標，利用點到直線的距離等于半徑可得，則圓的方程為．

(Ⅱ)由題意得到關于實數a的不等式，求解不等式可得實數a的取值范圍是；

(Ⅲ)由題意討論可得存在實數滿足題意.

試題解析：

（Ⅰ）設圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以 ，即．因為為整數，故．

故所求圓的方程為．

（Ⅱ）， 則或，又故

（Ⅲ）設符合條件的實數存在，由于，則直線的斜率為

的方程為，即

由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，

所以，解得。由于，故存在實數

使得過點的直線垂直平分弦AB