Question

【題目】如圖，已知定圓，定直線，過的一條動直線與直線相交于，與圓相交于，兩點，是中點.

（Ⅰ）當與垂直時，求證：過圓心；

（Ⅱ）當時，求直線的方程；

（Ⅲ）設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）或；（III）的值為定值.

【解析】

試題分析：（I）由已知，故，所以直線的方程為，即可證明；（II）當直線與軸垂直時，易知符合題意；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解；（III）當與軸垂直時，易得，，求得；當的斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程，利用根與系數的關系，化簡即可求解定值.

試題解析：（Ⅰ）由已知，故，所以直線的方程為.

將圓心代入方程易知過圓心.

（Ⅱ）當直線與軸垂直時，易知符合題意；

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，由于，

所以，由，解得.

故直線的方程為或.

（Ⅲ）當與軸垂直時，易得，，又，則，

，故,即.

當的斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程得

，則.

，即，

.又由得，

則.

故，

綜上，的值為定值，且.

另解一：連結，延長交于點，由（Ⅰ）知，又于，

故.于是有.

由，，得.

故.

另解二：連結并延長交直線于點，連結，，由（Ⅰ）知，又，

所以四點都在以為直徑的圓上，由相交弦定理得

.