Question

【題目】設函數.

（1）若函數在處有極值，求函數的最大值；

（2）①是否存在實數，使得關于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；

②證明：不等式

Answer 1

【答案】（1）最大值為；（2）①的取值范圍是；②證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由在處有極值得，從而求得，然后由正負，研究的單調性，得極值，最值；（2）①這類問題，可假設存在，不等式在上恒成立，考慮到，因此最好有時，，則恒成立結論為真，由此研究單調性，求導，注意到，因此分類， ，分別研究的正負，得的單調性，可得結論；②要證明此不等式，可能需要用到上面函數的結論，由上面的推理，取得不等式：，令，則，因此只要證得是遞減數列，不等式的右邊就證得，為此作差，

不等式的左邊，由，則有．這里用到了不等式的放縮法．

試題解析：（1）由已知得：，且函數在處有極值

，當時，單調遞增

當時，單調遞減

所以函數的最大值為

（2）①由已知得：

（）若，則時，

所以在上為減函數

在上恒成立；

（）若，則時，

所以在上為增函數

，不能使在上恒成立；

（）若，則時，

當時，

所以在上為增函數，

此時

所以不能使在上恒成立

綜上所述，的取值范圍是

②由以上得：

取得：，令

則

因此

又

故

.