Question

【題目】已知中心在原點的橢圓，右焦點（1，0），且過 ．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求斜率為2的一組平行弦的中點軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程為： =1，∵橢圓過（ ，0），

∴ =1，即a2=3，

∴橢圓方程為：

（2）解：依題意，設斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點坐標為（x，y），

則由 y=2x+b 且 得：14x2+12bx+3b2﹣6=0，

∴x1+x2=﹣ ，即x= ，y= ，

兩式消掉b得 y= x．

又弦的中點在橢圓內部，所以 ， ，

∴﹣ ，

故平行弦中點軌跡方程為：y= x（﹣

【解析】（1）根據橢圓右焦點坐標設出橢圓方程，再結合橢圓所過點的坐標求得橢圓方程；（2）先設出斜率為2的弦所在直線的一般方程及先中點的坐標，聯立兩個方程的到一元二次方程，利用跟魚系數的關系表示出弦中點的坐標，進而求得其軌跡方程，再結合弦的中點在橢圓內部這一特點求得軌跡方程的定義域.
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．