Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)分別為橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且.過(guò)軸上定點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題設(shè)知橢圓的離心率和的關(guān)系，結(jié)合，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分直線MN的斜率為0和不為0兩種情況討論，設(shè)直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，得出點(diǎn)Q到AB的距離，求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求解．

（1）由題意，橢圓的離心率為，所以，

其中，，

由，得.

又由，得，，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）直線的方程為，

①當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于左右頂點(diǎn)，則中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)，

②當(dāng)直線的斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，∴點(diǎn)為，

∴點(diǎn)到直線的距離為，

∵點(diǎn)在直線的下方，即，

∴，

∴，

設(shè)，令，則，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

綜上所述，的最大值為.