Question

二項(xiàng)式(2

x

-

1

x

)10展開式中，所有有理項(xiàng)（不含

x

的項(xiàng)）的系數(shù)之和為（　　）

• A．

  310+1

  2

• B．

  310-1

  2

• C．2¹⁰
• D．2⁹

Answer 1

分析：先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出(2

x

-

1

x

)10與（2x-1）¹⁰ 展開式的通項(xiàng)，判斷出(2

x

-

1

x

)10展開式的系數(shù)與（2x-1）¹⁰ 展開式的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，然后通過賦值法求出（2x-1）¹⁰ 展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和即可．

解答：解：(2

x

-

1

x

)10展開式的通項(xiàng)為Tr+1=210-r(-1)r

C

r 10

x5-

3r

2

，
又因?yàn)椋?x-1）¹⁰ 展開式的通項(xiàng)為Tr+1′=Tr+1=210-r(-1)r

C

r 10

 x10-r，
所以(2

x

-

1

x

)10展開式的系數(shù)與（2x-1）¹⁰ 展開式的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，
所以可以轉(zhuǎn)化為求（2x-1）¹⁰ 展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和，
所以當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，為展開式的有理項(xiàng)，
所以展開式的奇數(shù)項(xiàng)為展開式的有理項(xiàng)，
令（2x-1）¹⁰=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
令x=1得1=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
令x=-1得，3¹⁰=a₀-a₁+a₂-a₃…+a_n
兩式相加得3¹⁰+1=2（a₀+a₂+a₄+…），
所以a0+a2+a4+…=

310+1

2

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題；考查通過賦值法求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題；考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．