Question

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3，對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，4]
• B、（-∞，5]
• C、[6，+∞）
• D、[4，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：f（x）≥g（x）可整理為a≤2lnx+x+

3

x

，令h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0），則問題轉(zhuǎn)化為h（x）_min≥a，利用導(dǎo)數(shù)易求h（x）_min．

解答： 解：f（x）≥g（x）即2xlnx≥-x²+ax-3，
整理得a≤2lnx+x+

3

x

，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0），
則h′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∵f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤4，
故選A．

點(diǎn)評：該題考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．