Question

設函數f（x）的導函數為f′（x），對任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，則下列說法正確的為：

 

①f（1）＞ef（0），f（2014）＜e²⁰¹⁴f（0）
②f（1）＜ef（0），f（2014）＜e²⁰¹⁴f（0）
③f（1）＞ef（0），f（2014）＞e²⁰¹⁴f（0）
④3f（ln2）＞2f（ln3）
⑤3f（ln2）＜2f（ln3）
⑥3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數思想,導數的綜合應用

分析：構造函數g（x）=

f(x)

ex

，則g′（x）＞0，得出g（x）是單調增函數；由此判定③正確，①②錯誤；⑤正確，④⑥錯誤．

解答： 解：令g（x）=

f(x)

ex

，則g′（x）=

f′(x)•ex-f(x)•ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

；
∵對任意x∈R，有f′（x）＞f（x），
∴g′（x）＞0，
即g（x）在R上是單調增函數；
∵1＞0，2014＞0；
∴g（1）＞g（0），g（2014）＞g（0）；
即

f(1)

e

＞

f(0)

e0

，

f(2014)

e2014

＞

f(0)

e0

；
∴f（1）＞ef（0），f（2014）＞e²⁰¹⁴f（0）；
∴①②錯誤，③正確；
又∵ln2＜ln3，
∴g（ln2）＜g（ln3），
即

f(ln2)

eln2

＜

f(ln3)

eln3

；
∴

f(ln2)

2

＜

f(ln3)

3

，
即3f（ln2）＜2f（ln3）；
∴⑤正確，④⑥錯誤；
綜上，正確的序號是③⑤．
故答案為：③⑤．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性問題，解題時應根據題意，構造函數，利用導數判定函數的單調性，利用函數的單調性判定選項是否正確，是綜合題．