Question

（文）已知一個動圓與圓M₁：（x+1）²+y²=1外切，同時又與圓M₂：（x-1）²+y²=25內(nèi)切．
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（II）設(shè)經(jīng)過圓M₁的圓心且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交（Ⅰ）中的軌跡C于兩點A、B，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求G點橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由圓相切的性質(zhì)可知MM₁=r+1，MM₂=5-r，則有MM₁+MM₂=6＞M₁M₂=2，由橢圓的定義可知動圓圓心M的軌跡是以M₁，M₂為焦點的橢圓，c=1，a=3，由b²=a²-c²可求b，進而可求
（II）由題意可知，直線AB過圓M₁的圓心且不與坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），k≠0，聯(lián)立

y=k(x+1) x2 9 + y2 8 =1

可得（9k²+8）x²+18k²x+9k²-72=0，由根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，由中點坐標(biāo)公式可求線段AB的中點為P（x₀，y₀），
進而可求過點P（x₀，y₀）且垂直于AB的直線l₂的方程為y-

8k

9k2+8

=-

1

k

(x+

9k2

9k2+8

)，令y=0可得點G的橫坐標(biāo)x，結(jié)合k的范圍可求x的范圍

解答：解：（I）不妨記圓M₁，M₂的圓心分別為M₁，M₂
由題意可知，動圓M與定圓與定圓M₁相外切與定圓M₂相內(nèi)切
∴MM₁=r+1，MM₂=5-r（2分）
∴MM₁+MM₂=6＞M₁M₂=2（3分）
∴動圓圓心M的軌跡是以M₁，M₂為焦點的橢圓
由橢圓的定義可知，c=1，a=3，b²=a²-c²=8（4分）
∴所求的軌跡C的方程為

x2

9

+

y2

8

=1（5分）
（II）由題意可知，直線AB過圓M₁的圓心且不與坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），k≠0
聯(lián)立

y=k(x+1) x2 9 + y2 8 =1

可得（9k²+8）x²+18k²x+9k²-72=0（6分）
∴

△=182k4-4(9k2+8)(9k2-72)＞0 x1+x2=- 18k2 9k2+8 x1x2= 9k2-72 9k2+8

（7分）
設(shè)線段AB的中點為P（x₀，y₀），則x0=

-9k2

9k2+8

，y0=

8k

9k2+8

（9分）
過點P（x₀，y₀）且垂直于AB的直線l₂的方程為
y-

8k

9k2+8

=-

1

k

(x+

9k2

9k2+8

)（11分）
令y=0可得點G的橫坐標(biāo)x=-

k2

9k2+8

=-

1

9

+

8

9(9k2+8)

，k≠ 0
∴-

1

9

＜x＜0
∴所求的x的范圍是(-

1

9

，0)（13分）．．

點評：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程，解題時要注意圓的外切與內(nèi)切性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓相交關(guān)系中方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．