Question

設P表示冪函數y=xc2-6c+8在（0，+∞）上是增函數的c的集合；Q表示不等式|x-1|+|x-4|≥c對任意x∈R恒成立的c的集合．
（1）求P∪Q；
（2）試寫出一個解集為P∪Q的不等式．

Answer 1

分析：（1）根據冪函數的性質得到冪函數為增函數時，指數大于0，求出解集即可得到P；因為不等式|x-1|+|x-4|≥c對任意x∈R恒成立，即只需找到不等式|x-1|+|x-4的最小值即可求出c的范圍得到Q，然后求出P∪Q；
（2）根據（1）求出的P∪Q，可以舉例為解集為P∪Q的不等式

x-3

x-4

≥0．

解答：解：（1）∵冪函數y=xc2-6c+8在（0，+∞）上是增函數，
∴c²-6c+8＞0，即P=（-∞，2）∪（4，+∞），
又不等式|x-1|+|x-4|≥c對任意x∈R恒成立，∴c≤3，即Q=（-∞，3]，
∴P∪Q=（-∞，3]∪（4，+∞）．
（2）一個解集為P∪Q的不等式可以是

x-3

x-4

≥0．（答案不唯一）

點評：考查學生掌握冪函數的增減性，理解函數恒成立時所取的條件，以及會求集合并集的運算．本題第二問是開放性題目，答案不唯一，考查學生發散思維的能力．