Question

（2012•安慶模擬）已知拋物線C₁：x²=y，圓C₂：x²+（y-2）²=1的圓心為M，點P在拋物線C1上，設點P坐標（x₀，x₀²），且x₀≠0，x₀≠±1，過點P作圓C₂的兩條切線，并且分別交拋物線C₁于A、B兩點．
（1）設PA、PB的斜率分別為k₁、k₂，試求出k₁+k₂關于x₀的表達式；
（2）若

PM

•

AB

=0時，求x₀的值；
（3）若x₀=-2，求證：直線AB與圓C₂相切．

Answer 1

分析：（1）設過點P的切線方程：y=k(x-x0)+x02，由kx-y-kx0+x02=0與圓C₂相切，知

|kx0+2-x02|

1+k2

=1，由此能求出k₁+k₂關于x₀的表達式．
（2）設A(x1，x12)，B(x2，x22)，（x₁≠x₂）由

y=k(x-x0)+x02 y=x2

，得x2-kx+kx0-x02=0，由此能求出當

PM

•

AB

=0時，x₀的值；
（3）由k_AB=x₁+x₂，知當x₀=-2時，k1+k2=-

8

3

，k₁k₂=1，由此能夠證明AB與圓C₂相切．

解答：解：（1）由于x₀≠±1，知過P作圓M的切線，切線斜率存在，
設過點P的切線方程：y=k(x-x0)+x02，
即kx-y-kx0+x02=0與圓C₂相切，
故有：

|kx0+2-x02|

1+k2

=1，
整理得：(x02-1)k2+2x0(2-x02)k+(2-x02)2-1=0．
依題意，k₁，k₂是上述方程的兩根，
故有k1+k2=

2x0(x02-2)

x02-1

．…（4分）
（2）設A(x1，x12)，B(x2，x22)，（x₁≠x₂）
由

y=k(x-x0)+x02 y=x2

，
得x2-kx+kx0-x02=0，
又方程有一根為x₀，
則另一根為k-x₀，
∴x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，
∴kAB=

x12-x22

x1-x2

=x1+x2=k1+k2-2x0，
由（1）知kAB=

2x0(x02-2)

x02-1

-2x0=

-2x0

x02-1

，
又x₀≠0，所以kPM=

x02-2

x0

，

PM

•

AB

=0，
∴

-2x0

x02-1

•(

x02-2

x0

)=-1，
解得x02=3，
∴x0=±

3

…（9分）
（3）證明：由（1），（2）知k_AB=x₁+x₂，
當x₀=-2時，k1+k2=-

8

3

，k₁k₂=1，
∴kAB=k1+k2-2x0=

4

3

，x1x2=(k1-x0)(k2-x0)=k1k2-x0(k1+k2)+x02
=1+2×(-

8

3

)+4=-

1

3

，
而AB：y-x12=(x1+x2)(x-x1)，
即y=(x1+x2)x-x1x2=

4

3

x+

1

3

，
∴AB方程：4x-3y+1=0，
而圓C₂的圓心M（0，2），
點M到AB的距離是

|4×0-3×2+1|

42+32

=1，
圓C₂的半徑為1，
∴AB與圓C₂相切．…（13分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，具體涉及到拋物線和圓的簡單性質，根與系數(shù)的關系，點到直線的距離公式等基本知識．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．