Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，∠BAD=60°，E為BC邊上的中點，F為平行四邊形內（包括邊界）一動點，則

AE

•

AF

的最大值為

31

2

．

Answer 1

分析：先以點A位坐標原點建立的直角坐標系，求出其它各點的坐標，然后利用點的坐標表示出

AE

•

AF

，把所求問題轉化為在平面區域內求線性目標函數的最值問題求解即可．

解答：解：以點A位坐標原點建立如圖所示的直角坐標系
設點A（0，0），則B（3，0），C（4，

3

），D（1，

3

），E（

7

2

，

3

2

），
設F（x，y），F為平行四邊形內（包括邊界）一動點，對應的平面區域即為平行四邊形ABCD
因為

AE

=（

7

2

，

3

2

），

AF

=（x，y）．
所以

AE

•

AF

=

7

2

x+

3

2

y．
借助于圖象得當

7

2

x+

3

2

y過點C（4，

3

）時取最大值，最大值為

7

2

x+

3

2

y=14+

3

2

=

31

2

．
故答案為：

31

2

．

點評：本題主要考查向量在幾何中的應用以及數形結合思想的應用和轉化思想的應用，是對基礎知識和基本思想的考查，屬于中檔題．