Question

在區(qū)間[0，1]上任意取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)f（x）=

1

2

x³+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且僅有一個零點的概率為

 

．

Answer 1

分析：由題意知本題是一個幾何概型，根據(jù)所給的條件很容易做出試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的面積，而滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=

1

2

x³+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且僅有一個零點，求出導函數(shù)，看出函數(shù)是一個增函數(shù)，有零點等價于在自變量區(qū)間的兩個端點處函數(shù)值符號相反，得到條件，做出面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．

解答：解：由題意知本題是一個幾何概型，
∵a∈[0，1]，
∴f'（x）=1.5x²+a≥0，
∴f（x）是增函數(shù)若在[-1，1]有且僅有一個零點，則f（-1）•f（1）≤0∴（-0.5-a-b）（0.5+a-b）≤0，即（0.5+a+b）（0.5+a-b）≥0 a看作自變量x，b看作函數(shù)y，由線性規(guī)劃內(nèi)容知全部事件的面積為1×1=1，滿足條件的面積為

7

8

∴概率為

7 8

1

=

7

8

，
故答案為：

7

8

點評：本題是一個幾何概型，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)果．