Question

（2012•蕪湖三模）已知數列滿足a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=

n

2

（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項；
（Ⅱ）若bn=

n

an

，求數列{b_n}的前n和S_n；
（Ⅲ）求證Sn≥n2+2n-1．

Answer 1

分析：（ I）由n=1，可求a1=

1

2

，由已知可得n≥2時，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=

n-1

2

，兩式相減可求a_n
（II）由（I）可得bn=

n

an

=n•2ⁿ，利用錯位相減可求和
（III）由（II）可知，Sn-2=(n-1)•2n+1=（n-1）•（1+1）ⁿ，只要證明S_n-2＞0即可

解答：解：（ I）n=1時，a1=

1

2

∵a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=

n

2

∴n≥2時，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=

n-1

2

兩式相減可得，2^n-1a_n=

1

2

∴an=

1

2n

（II）解：∵bn=

n

an

=n•2ⁿ
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1
兩式相減可得，-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
∴Sn=(n-1)•2n+1+2
（III）證明：由（II）可知，Sn-2=(n-1)•2n+1=（n-1）•（1+1）ⁿ
=（n-1）（

C

0 n+1

+

C

1 n+1

+…+

C

n+1 n+1

）≥（n-1）（

C

0 n+1

+

C

1 n+1

+

C

n+1 n+1

）=（n-1）（n+3）=n²+2n-3
∴Sn-2≥n2-2n-3
∴Sn≥n2+2n-1

點評：本題主要考查了利用遞推公式求解數列的通項公式，數列的錯位相減求解數列的和及利用組合數的性質證明不等式，注意放縮法在證明中的應用．