Question

已知實數 x，y 滿足方程x²+y²-4x+1=0，則

y

x

的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：整理方程可知，方程表示以點（2，0）為圓心，以

3

為半徑的圓，設

y

x

=k，進而根據圓心（2，0）到y=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值，確定出k的范圍，即為所求式子的范圍．

解答： 解：設

y

x

=k，即kx-y=0，
由圓方程x²+y²-4x+1=0
∴（x-2）²+y²=3得到圓心坐標為（2，0），半徑r=

3

，
當直線與圓相切時，圓心到切線的距離d=r，即

|2k|

k2+1

=

3

，
解得：k=±

3

，
則的取值范圍是[-

3

，+

3

]．
故答案為：[-

3

，

3

]；

點評：本題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線與圓相切時滿足的條件，利用了轉化的思想，求出直線與圓相切時斜率的值是解本題的關鍵．