Question

兩個相同的正四棱錐底面重合組成一個八面體，可放于棱長為1的正方體中，重合的底面與正方體的某一個面平行，各頂點均在正方體的表面上，把滿足上述條件的八面體稱為正方體的“正子體”．
（1）若正子體的六個頂點分別是正方體各面的中心，求異面直線DE與CF所成的角；
（2）問此正子體的體積V是否為定值？若是，求出該定值；若不是，求出體積大小的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求異面直線所成的角可以建立坐標系來解，分別以CA、DB為x、y軸建立空間直角坐標系，根據幾何體的長度寫出要用的點的坐標，寫出兩條異面直線對應的向量，根據異面直線所成角為銳角，得到異面直線DE與CF所成的角．
（2）正子體體積不是定值．把正子體分成兩個四棱錐，分別求兩個四棱錐的體積，根據底面的范圍，得到正子體的體積在一個取值范圍中，不是一個定值．

解答：解：（1）分別以CA、DB為x、y軸建立空間直角坐標系．
因為AC=1，BD=1，
∴D(0，-

1

2

，0)，E(0，0，

1

2

)，C(-

1

2

，0，0)，
F(0，0，-

1

2

)，

DE

={0，

1

2

，

1

2

}，

CF

={

1

2

，0，-

1

2

}
cosθ=-

1

2

因為異面直線所成角為銳角，
故異面直線DE與CF所成的角為60°
（2）正子體體積不是定值．
設ABCD與正方體的截面四邊形為A′B′C′D′，
設AA′=x（0≤x≤1），則AB′=1-x
|AD|2=x2+(1-x)2=2(x-

1

2

)2+

1

2

故SABCD=|AD|2∈[

1

2

，1]
V=

1

3

•SABCD•h•2=

1

3

•SABCD•

1

2

•2=

1

3

SABCD∈[

1

6

，

1

3

]．

點評：本題考查簡單組合體的體積，考查幾何體的結構特征，考查異面直線所成的角，本題是一個綜合題目，需要注意數據的運算不要出錯．