Question

（2013•韶關二模）已知各項均為正數的等比數列{a_n}的首項a₁=2，S_n為其前n項和，若5S₁，S₃，3S₂成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，cn=

1

bnbn+1

，記數列{c_n}的前n項和T_n．若對?n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由 5S₁，S₃，3S₂成等差數列，依題意，可化簡求得q=2，首項a₁=2，從而可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）依題意，可求得c_n=

1

n

-

1

n+1

，從而可得T_n=

n

n+1

，由

n

n+1

≤k（n+4）可求得k≥

1

n+ 4 n +5

，利用基本不等式即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵5S₁，S₃，3S₂成等差數列，
∴2S₃=5S₁+3S₂…（1分）
即2（a₁+a₁q+a₁q²）=5a₁+3（a₁+a₁q），
化簡得 2q²-q-6=0…（2分）
解得：q=2或q=-

3

2

…（3分）
因為數列{a_n}的各項均為正數，所以q=-

3

2

不合題意…（4分）
所以{a_n}的通項公式為：a_n=2ⁿ．…（5分）
（2）由b_n=log₂a_n得b_n=log22n=n…（6分）
∴c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（7分）
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（8分）
∵

n

n+1

≤k（n+4）
∴k≥

n

(n+1)(n+4)

=

n

n2+5n+4

…（9分）
=

1

n+ 4 n +5

…-（11分）
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，當且僅當n=

4

n

，即n=2時等號成立------（12分）
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

 …（13分）
∴k的取值范圍[

1

9

，+∞）．…（14分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查等差數列的通項公式，考查裂項法求和與基本不等式的綜合應用，屬于難題．